El Problema de la No Diferenciabilidad
El problema estándar de optimización con restricciones se define como:
$$\text{minimizar } f_0(x) \\ \text{con restricción } f_i(x) \leq 0, \quad i = 1, \ldots, m \\ Ax = b$$
Teóricamente podríamos reescribir esto usando la función indicadora $I_-(u)$ para incorporar las restricciones en el objetivo. Sin embargo, $I_-(u)$ es un monstruo para el cálculo:
$$I_-(u) = \begin{cases} 0 & u \leq 0 \\ \infty & u > 0 \end{cases}$$
Debido a que es discontinua y tiene una derivada infinita en el borde, no podemos calcular el hessiano necesario para el Método de Newton. Necesitamos un sustituto diferenciable.
La Suavización Logarítmica
Aproximamos $I_-(u)$ usando la función:
$$\hat{I}_-(u) = -(1/t) \log(-u), \quad \text{dom } \hat{I}_- = -\mathbf{R}_{++}$$
Aquí, $t > 0$ es un parámetro que determina la precisión de nuestra aproximación. Cuanto mayor sea $t$, más se parecerá la barrera a la función indicadora real.
A diferencia de los métodos de conjunto activo, este enfoque requiere que cada iteración $x$ permanezca estrictamente factible ($f_i(x) < 0$). Debido a que el logaritmo no está definido para valores no negativos, crea una barrera "impasable" que mantiene la búsqueda dentro del interior del conjunto factible.